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【专家解说】：2011年普通高等学校招全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。参考公式：（1）柱体体积公式 ，其中 为底面面积， 为高（2）球的体积公式V= πR3,  其中R为球的半径一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜,则N=A．{1,2,3}          B. {1,3,5}   C. {1,4,5}          D. {2,3,4}2．若 ， 为虚数单位，且 则A． ，   B.   C.    D. 3. “ ”是“ ” 的A．充分不必要条件               B.必要不充分条件C. 充分必要条件                 D.既不充分又不必要条件4.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A． B． C． D．      5.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：  男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由   算得， 附表：  0.0500.0100.001k3.8416.63510.828 参照附表，得到的正确结论是A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别五关”6.设双曲线 的渐近线方程为 ，则a的值为A.4           B.3           C.2               D.17.曲线 在点M（ ，0）处的切线的斜率为A.           B.            C.               D. 8.已知函数 ，若有 ，则b的取值范围为A.              B. C.                       D.    填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。（一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）9.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为      （ 为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中，曲线C2的方程为 ，则C1与C2的交点个数为       10.已知某试验范围为【10，90】，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是            （二）必做题（11～16题）11.若执行如图2所示的框图，输入 ， 则输出的数等于                             12. 已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=_________.13. 设向量a,b满足|a|=2 ,b=(2,1),且a与b的方向相反，则a的坐标为________.y≥x14. 设m>1,在约束条件 y≤mx ,下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m 的值x+y≤1为_________.15. 已知圆C：x2+y2=12,直线l : 4x+3y=25.   （1）圆C的圆心到直线l的距离为________;   （2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_______.16. 给定 ,设函数 满足：对于任意大于k的正整数n: (1) 设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为_________'(2) 设k=4,且当n≤4时，2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个数为________. 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.(1)  求角C的大小；(2)     求 sinA-cos (B+ )的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。    18.（本小题满分12分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160。（Ⅰ）完成如下的频率分布表近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率   （Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为飞、概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率.19.（本小题满分12分）   如图3，在圆锥 中，已知 = ， D的直径 ,点 在 上，且 ， 为 的中点.(Ⅰ)证明： 平面 ;(Ⅱ)求直线 和平面 所成角的正弦值。  20.（本小题满分13分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备 ， 的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初 的价值为上年初的75%.（Ⅰ）求第 年初 的价值 的表达式；（Ⅱ）设 ，若 大于80万元，则 继续使用，否则须在第 年初对 更新.证明：须在第9年初对 更新.21. （本小题满分13分）已知平面内一动点 到点 的距离与点 到 轴的距离的差等于1.（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；（Ⅱ），过点 左两条斜率存在且互相垂直的直线 ，设 与轨迹 相交于点 ， 与轨迹 相交于点 ，求 的最小值。 22. （本小题满分13分）     设函数 。     （Ⅰ）讨论函数 的单调性。     （Ⅱ）若 有两个极值点 ；记过点 的直线斜率为 。问：是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。  2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。参考公式：（1） ，其中 为两个事件，且 ，         （2）柱体体积公式 ，其中 为底面面积， 为高。         （3）球的体积公式 ，其中 为求的半径。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若 ， 为虚数单位，且 则A． ，   B.      C.      D. 2.设集合 则 “ ”是“ ”的A.充分不必要条件          B.必要不充分条件C. 充分必要条件            D. 既不充分又不必要条件3.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D.   通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由 算得， .参照附表，得到的正确结论是A．  再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．  再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%一上的把握人物“爱好该项运动与性别无关”5.设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为A.4           B.3                     C.2              D.16.由直线 与曲线 所围成的封闭图形的面积为A.              B.1                 C.             D. 7.设m＞1，在约束条件 下，目标函数Z=X+my的最大值小于2，则m 的取值范围为A.（1， ）   B.（ ， ） C.（1,3 ） D.（3， ）8.设直线x=t 与函数    的图像分别交于点M,N,则当 达到最小时t的值为A.1                 B.                C.          D.                    填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选一题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （ 为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中，曲线C2的方程为 ，则C1与C2的交点个数为      10.设 ,则 的最小值为         。11.如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为         。（二）必做题（11～16题）12.设 是等差数列 ，的前 项和，且 ，则 =          .13.若执行如图3所示的框图，输入 ， ,则输出的数等于         。 14.在边长为1的正三角形ABC中, 设 则  =__________________.15.如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该院内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴C影部分）内”，则（1）P(A)= _____________;           (2)P(B|A)=                   .   16.对于  ,将n 表示  ,当 时， ,当 时, 为0或1.记 为上述表示中ai为0的个数（例如： ）,故 , ),则（1） ________________;(2) ________________;三、解答题：本大题共6小题，东75分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.(Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求 sinA-cos (B+ )的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。18. （本小题满分12分）某商店试销某种20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。(Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记x为第二天开始营业时该商品的件数，求x的分布列和数学期型。                             19.（本小题满分12分）如图5，在圆锥 中，已知 = ， 的直径 , 是 的中点， 为 的中点.(Ⅰ)证明：平面   平面 ;(Ⅱ)求二面角 的余弦值。20.（本小题满分13分）如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为 。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 ×S成正比，比例系数为 ；（2）其它面的淋雨量之和，其值为 ，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S= 时。（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。 21.(本小题满分13分）  如图7，椭圆 的离心率为 ，x轴被曲线 截得的线段长等于 的长半轴长。（Ⅰ）求 ， 的方程；（Ⅱ）设 与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线 与 相交于点A,B,直线MA,MB分别与 相交与D,E.(i)证明：MD⊥ME;(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是 , .问：是否存在直线l,使得 = ?请说明理由。         22.（本小题满分13分）  已知函数 ( ) = ，g ( )= + 。 （Ⅰ）求函数h ( )= ( )-g ( )的零点个数。并说明理由； （Ⅱ）设数列{ }（ ）满足 ， ，证明：存在常熟M,使得 对于任意的 ，都有 ≤  .