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向量的运算,具体过程

来源:江南娱乐-意甲尤文图斯亚
时间:2024-08-17 13:33:13
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向量的运算,具体过程热心网友:已知结论1:若a,b,c三个向量组有二个向量平行,则(a×b)*c=0。已知结论2:(a×b)*c=(b×c)*a=(c×a)*b。用分配律,原式=(

热心网友:已知结论1:若a,b,c三个向量组有二个向量平行,则(a×b)*c=0。已知结论2:(a×b)*c=(b×c)*a=(c×a)*b。用分配律,原式=(a×b+a×c+b×b+b×c)*(c-a)=(a×b)*c-(a×b)*a+(a×c)*c-(a×c)*a+(b×b)*c-(b×b)*a+(b×c)*c-(b×c)*a=2-0+0-0+0-0+0-2=0。

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热心网友:向量:在数学中,几何向量(也称为欧几里得向量,通常简称向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的几何对象,可以形象化地表示为带箭头的线段:箭头所指,代表向量的方向、线段长度,代表向量的大小。一个向量可以有多种记法,如记作粗体的字母(a、b、u、v),或在字母顶上加一小箭头→,或在字母下加波浪线~。如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。给空间设一直角坐标系,也能把向量以数对形式表示,例如Oxy平面中(2,3)是一向量。而在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量,比如一个物体的位移,球撞向墙而对其施加的力,等等。与之相对的是标量,即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系,例如向量势对应于物理中的势能。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化,得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素,要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。因此,平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过,依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系,也可以透过选取恰当的定义,在向量空间上介定范数和内积,这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。向量的模向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。注:1.向量的模是非负实数,是可以比较大小的。向量a=(x,y),。2.因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如,“向量AB>向量CD”是没有意义的。运算设a=(x,y),b=(x1,y1)。加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。OB+OA=OC。a+b=(x+x1,y+y1)。a+0=0+a=a。向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0OA-OB=BA.即“共同起点,指向被减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').如图:c=a-b 以b的结束为起点,a的结束为终点。交换律:a+(-b)=a-b数乘实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意。当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。实数p和向量a的点乘乘积是一个数。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。需要注意的是:向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。数量积定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量(没有方向),记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉(依定义有:cos〈a,b〉=a·b / |a|·|b|);若a、b共线,则a·b=±∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。向量的数量积的运算律a·b=b·a(交换律)(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。|a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)向量的数量积与实数运算的主要不同点1.向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)²≠a²·b²。2.向量的数量积不满足消去律,即:由a·b=a·c(a≠0),推不出b=c。3.|a·b|与|a|·|b|不等价4.由 |a|=|b| ,不能推出a=b,也不能推出a=-b,但反过来则成立。向量积定义:两个向量a和b的向量积向量的几何表示(外积、叉积)是一个向量,记作a×b(这里“×”并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”)。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直,则∣a×b∣=|a|*|b|(此处与数量积不同,请注意),若a×b=0,则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。运算法则:运用三阶行列式设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量A=(x1,y1,z1)B=(x2,y2,z2)则A*B=a b cx1 y1 z1x2 y2 z2向量的向量积性质:∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a平行b〈=〉a×b=0向量的向量积运算律a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)a×(b+c)=a×b+a×c.(a+b)×c=a×c+b×c.上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。如:a×(2b)=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的!注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

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热心网友:原式=[axb+axc+bxb+bxc](c-a)=[axb+axc+bxc](c-a)=(axb)c-(bxc)a=0

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