数学小论文 小学的约300~500字

【专家解说】：<<微元法浅析>> [摘要]此文中主要论述了微元法的基本概念、解题步骤、及其应用和案例分析。 [关键词]微积分极限微元 “微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。这是数学思维的一个重要分支。 一. 微积分概述 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。 极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不甚不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。 微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 微积分是一种严密的数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题的。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。 倘若将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。 二．微元法的解题步骤： 一般地，如果某一个实际问题中所求量 符合下列条件： 1) 与变量 的变化区间 有关； 2) 对于区间 具有可加性．也就是说，如果把区间 分成许多部分区间，则 相应地分成许多部分量，而 等于所有部分量之和； 3) 部分量 的近似值可以表示为 ． 那么，在确定了积分变量以及其取值范围后，可以用以下三步来求解： 第一步 根据问题的具体情况，选取一个变量（如 ）为积分变量，并确定它的变化区间 ； 第二步 写出 在任一小区间 上的微元 ，这里常运用“以常代变，以直代曲”等方法； 第三步 以所求量 的微元 为被积表达式，写出在区间 上的定积分，得 ． 以上分析问题的方法称为微元法或元素法. 如以速度 (m/s)直线行驶的汽车在 s内行驶的路程（“以常代变”）可视为均速运动下的路程，微元为 ,在 s行驶的路程为 ． 三．微元法的应用 高中物理中的瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势等等，都是用这种方法定义的，还有单摆的周期公式的推导，也用到了这种方法。从数学上讲，是一种微分的思想方法，但在高中物理总复习中，用“微元法”来解有些问题，简捷明了是一种普适的好办法。一般地，“微元法”在解题中的应用有以下三个步骤： 1) 合理“取样”，从局部求整体 2) “化变为恒”、“化曲为直”求瞬时速度 3) 找“联系点”、“联系物”求相关速度 四．微元法案例分析 案例：求物体运动的路程 设某物体作变速直线运动，已知 速度V=V（t）>=0是时间间隔[T1,T2]上的连续函数。 解： 第一步：计算路程微元。 在小时间段上，物体的运动可视为匀速运动用“以常代变”，得路程微元 ds=v(t)dt 第二步：积分。 以v(t)dt为被积表达式，写出在区间[T1,T2]上的定积分，得路程 以速度 v(t)=2t^2(km/h)行驶的汽车在t=0h到t=0.5h行驶的路程为 五．总结 总之，微元法是个很好的解题方法，简单地讲它就是指在构建物理模型时，将待建物理对象或物理过程视作为由许多微小体或元过程组成，而所研究的物理对象或物理过程整体所遵循的物理规律，可通过积分来得到。 参考文献： [1]刘来福等．《数学模型与数学建模》．北京师范大学出版社．2000.5（P-42） [2]关士续等．《自然辩证法概论》．高等教育出版社．1994.4（P-139） [3]李春生．《物理类比方法浅谈现代物理知识》．2003.1